Question

设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a，
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）当a在什么范围内取值时，曲线y=f（x）与x轴仅有一个交点。

Answer 1

解：（Ⅰ）令得：，
又∵当x∈(-∞，)时，f′（x）＞0；
当x∈(，1)时，f′（x）＜0；
当x∈(1，+∞)时，f′（x）＞0，
∴与分别为f（x）的极大值与极小值点，
∴f（x）_极大值=，f（x）_极小值=a-1；
（Ⅱ）∵f（x）在(-∞，)上单调递增，
∴当x→-∞时，f（x）→-∞；
又f（x）在(1，+∞)单调递增，当x→+∞时，f（x）→+∞，
∴当f（x）_极大值＜0或f（x）_极小值＞0时，曲线f（x）与x轴仅有一个交点，
即或a-1＞0，
∴a∈(-∞，)∪(1，+∞)。