Question

一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线-=1(a＞0,b＞0)交于P、Q两点,直线l与y轴交于R点,且·=-3, =3,求直线和双曲线方程.

Answer 1

解：∵e=,∴b²=2a².

∴双曲线方程可化为2x²-y²=2a².

    设直线方程为y=x+m,

    由得x²-2mx-m²-2a²=0,

∴Δ=4m²+4(m²+2a²)＞0.

∴直线一定与双曲线相交.

    设P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂),则x₁+x₂=2m,x₁x₂=-m²-2a².

∵=3,x_R==0,

∴x₁=-3x₂.

∴x₂=-m,-3x₂²=-m²-2a².

    消去x₂,得m²=a².

·=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(x₁+m)(x₂+m)

=2x₁x₂+m(x₁+x₂)+m²=m²-4a²=-3,

∴m=±1,a²=1,b²=2.

∴直线方程为y=x±1,双曲线方程为x²-=1.