Question

4．已知幂函数f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{2+2t-{t}^{2}}$是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知函数g（x）=f（x）-4$\sqrt{f（x）}$，x∈[1，4]，求g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用幂函数的定义，求出t，再进行验证，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用换元法，结合配方法，即可求g（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）=（t³-t+1）x${\;}^{2+2t-{t}^{2}}$是幂函数，
∴t³-t+1=1，解得t=0，1，-1┉（2分）
当t=0时，f（x）=x²是偶函数，不合题意；
当t=-1时，f（x）=x^-1是奇函数在（0，+∞）上是减函数，不合题意；
当t=1时，f（x）=x³是奇函数，且在（0，+∞）上是增函数．
∴f（x）=x³．┉┉┉（6分）
（2）g（x）=x³-4$\sqrt{{x}^{3}}$，x∈[1，4]．
令t=$\sqrt{{x}^{3}}$，则t∈[1，8]．┉┉┉（8分）
G（t）=t²-4t，t∈[1，8]．
对称轴：t=2，G（2）=-4，G（8）=32．
∴G（t）∈[-4，32]，∴g（x）的值域[-4，32]┉┉┉（12分）

点评 本题考查幂函数的定义，g（x）的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．