Question

数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知△ABC的顶点A（2，0），B（0，4），若其欧拉线的方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是（　　）

• A、（-4，0）
• B、（0，-4）
• C、（4，0）
• D、（4，0）或（-4，0）

Answer 1

分析：设出点C的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出AB的垂直平分线，和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联立求得点C的坐标．

解答：解：设C（m，n），由重心坐标公式得，
三角形ABC的重心为（

2+m

3

，

4+n

3

），
代入欧拉线方程得：

2+m

3

-

4+n

3

+2=0，
整理得：m-n+4=0  ①
AB的中点为（1，2），kAB=

4-0

0-2

=-2，
AB的中垂线方程为y-2=

1

2

（x-1），即x-2y+3=0．
联立

x-2y+3=0 x-y+2=0

，解得

x=-1 y=1

．
∴△ABC的外心为（-1，1）．
则（m+1）²+（n-1）²=3²+1²=10，
整理得：m²+n²+2m-2n=8  ②
联立①②得：m=-4，n=0或m=0，n=4．
当m=0，n=4时B，C重合，舍去．
∴顶点C的坐标是（-4，0）．
故选：A．

点评：本题考查直线方程的求法，训练了直线方程的点斜式，考查了方程组的解法，是基础的计算题．