Question

7．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x+1}$．
（1）求函数f（x）在区间[0，2]上的最值；
（2）若关于x的方程（x+1）f（x）-ax=0在区间（1，4）内有两个不等实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法令t=x+1，t∈[1，3]，从而化为y=t+$\frac{4}{t}$-2，从而求闭区间上的最值；
（2）当x∈（1，4）时，可化方程为a=$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=x+$\frac{3}{x}$，从而作函数y=x+$\frac{3}{x}$在（1，4）上的图象，结合图象求解即可．

解答 解：（1）令t=x+1，t∈[1，3]，
则x=t-1，
故y=f（x）=$\frac{{{x^2}+3}}{x+1}$=$\frac{（t-1）^{2}+3}{t}$=t+$\frac{4}{t}$-2，
由对勾函数的性质可知，
函数y=g（t）=t+$\frac{4}{t}$-2在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增；
且g（1）=1+4-2=3，g（2）=2+2-2=2，g（3）=3+$\frac{4}{3}$-2=$\frac{7}{3}$，
故函数f（x）在区间[0，2]上的最小值为2，最大值为3；
（2）当x∈（1，4）时，
∵（x+1）f（x）-ax=0，
∴（x²+3）-ax=0，
故a=$\frac{{x}^{2}+3}{x}$=x+$\frac{3}{x}$，
作函数y=x+$\frac{3}{x}$在（1，4）上的图象如下，
，
其中y_min=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，y|_x=1=1+3=4，y|_x=4=4+$\frac{3}{4}$＞4，
故结合图象可知，当2$\sqrt{3}$＜a＜4时，
关于x的方程（x+1）f（x）-ax=0在区间（1，4）内有两个不等实根．
故实数a的取值范围为2$\sqrt{3}$＜a＜4．

点评 本题考查了函数的最值的求法及数形结合的思想应用．