Question

(2007重庆．19)如下图，在直三棱柱中，，AB=1，∠ABC=90°；点D、E分别在、上，且，四棱锥C－与直三棱柱的体积之比为3∶5．

(1)求异面直线DE与的距离；

(2)若，求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如图，以B点为坐标原点O建立空间直角坐标系O－xyz，则B(0，0，0)，(0，0，2)，A(0，1，0)，(0，1，2)，则=(0，0，2)，=(0，－1，0)． 设(a，0，2)，则=(a，0，0)． 又设， 则， 从而，即． 又，所以是异面直线与DE的公垂线． 下面求点D的坐标． 设D(0，0，z)，则=(0，0，z)． 因四棱角的体积为 ． 而直三棱柱的体积为 ． 由已知条件，故，解得，即． 从而，，， 接下来再求点E的坐标． 由，有，即 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 又由，　　　　　　　　　　　　　　　　② 联立①②，解得，， 即，得． 故． (2)由已知，则，从而，过作，垂足为F，连接． 设，则，因为， 故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　① 因且，得，即 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 联立①②解得，，即． 则，， ． 又，故，因此为所求二面角的平面角． 又=(0，－1，0)， 从而，故，为直角三角形，所以 ．