Question

A．已知函数f(x)=

ax2+1

bx+c

(a，b，c∈Z)是奇函数，又f（1）=2，f（2）＜3，且f（x）在[1，+∞）上递增．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0时，讨论f（x）的单调性．

B．已知二次函数f（x）的图象开口向下，且对于任意实数x都有f（2-x）=f（2+x）求不等式：f[log

1

2

（x²+x+

1

2

）]＜f[log

1

2

（2x²-x+

5

8

）]的解．

Answer 1

分析：A、（1）求三个未知数，需要三个条件，一是定义域要关于原点对称，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增可解．
（2）用单调性定义来探讨，先在给定的区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形，在与0比较中出现讨论，再进一步细化区间，确定后即为所求的单调区间．
B、由题设二次函数f（x）的图象开口向下，又对于任意实数x，都有f（2-x）=f（x+2），知其对称轴方程为x=2，由二次函数的这些特征即可研究出其单调性，分析log

1

2

（x²+x+

1

2

），log

1

2

（2x²-x+

5

8

）的范围，利用二次函数的单调性转化不等式为log

1

2

（x²+x+

1

2

）＜log

1

2

（2x²-x+

5

8

），利用对数函数的单调性把不等式转化为x²+x+

1

2

＞2x²-x+

5

8

，解此不等式即可求得结果．

解答：A、解：（1）∵f（x）为奇函数，
故f（x）的定义域关于原点对称
又f（x）的定义域为 {x|x≠-

c

b

}（显然b≠0，否则f（x）为偶函数）
∴-

c

b

=0，即c=0
于是得 f(x)=

a

b

x+

1

bx

，且

a+1

b

=2，

4a+1

2b

＜3
∴

8b-3

2b

＜3
∴0＜b＜

3

2

，又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增
（2）由（1）知 f(x)=x+

1

x

，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-1)
①当-1＜x₁＜x₂＜0时，显然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）为减函数
②当x₁＜x₂＜-1时，显然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）为增函数
综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．
B、解：由题意二次函数f（x）图象开口向下，
故在对称轴两边的图象是左降右升
又对于任意实数x，都有f（2-x）=f（x+2），
故此函数的对称轴方程是x=2
由此知，函数f（x）在（-∞，2]上是增函数，在（2，+∞）是减函数，
而x²+x+

1

2

=（x+

1

2

）²+

1

4

≥

1

4

，2x²-x+

5

8

=2（x-

1

4

）²+

1

2

≥

1

2

，
∴log

1

2

（x²+x+

1

2

）≤log

1

2

1

4

=2，log

1

2

（2x²-x+

5

8

）≤log

1

2

1

2

=1，
∵f[log

1

2

（x²+x+

1

2

）]＜f[log

1

2

（2x²-x+

5

8

）]
∴log

1

2

（x²+x+

1

2

）＜log

1

2

（2x²-x+

5

8

），
∴x²+x+

1

2

＞2x²-x+

5

8

，解得

4- 14

4

＜x＜

4+ 14

4

，
∴不等式的解集为(

4- 14

4

，

4+ 14

4

)．

点评：A、此题是中档题．本题主要考查函数利用奇偶性和函数值，单间性来求解析式，在研究单调性中分类讨论的思想应用．
B、本题主要考查二次函数的单调性和对称性，还考查了利用对数函数的单调性解对数不等式和一元二次不等式的解法，特别注意对数不等式的求解时的定义域．