Question

（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．
（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，
①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；
②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2

2

，由圆周公式2πR可算出底面周长．
（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，-acos60°）．设B（x，y，0），则

AC

=（0，-acos60°，-asin60°）．

AB

=（x，y，-asin60°）．所以

AB

•

AC

=-acos60°y+a2sin 260°．又由

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos45°，知-acos60°•y+a²sin60°=a，平方整理得

x2

2

+

y2

4

+

3

4

a2y+

3

16

a2=0，由此知点B的轨迹．
②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，-acosφ），（0＜φ＜

π

2

）．设B（x，y，0），则（6分）

AC

=（0，-acosφ，-asinφ）．

AB

=（x，y，-asinφ）．所以

AB

•

AC

=-acosφ•y+a2sin2φ．由

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosθ=a•

x2+y2+a2sin2φ

•cosθ．知cos²θ•x²+（cos²θ-cos²φ）y²+a²ysinφsin2φ+a²sin²φ（cos²θ-sin²φ）=0．故当φ=

π

2

时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜

π

2

时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜

π

2

时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．

解答：解：（1）∵圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，
高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，
即高和底面半径长度一样，
则由勾股定理可知底面半径为2

2

，
则由圆周公式2πR可算出底面周长4

2

π；                                                               （2分）
（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，
设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，-acos60°）．
设B（x，y，0），则

AC

=（0，-acos60°，-asin60°）．

AB

=（x，y，-asin60°）．
∴

AB

•

AC

=-acos60°y+a2sin 260°．
又∵

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cos45°=a•

x2+y2+a2sin260°

•cos45°．
∴-acos60°•y+a²sin60°=a

x2+y2+a2sin260°cos45°

．                      （11分）
平方整理得cos²45°•x²+（cos²45°-cos²60°）y²+a²ysin60°sin120°+a²sin²60°（cos²45°-sin²60°）=0．
即

x2

2

+

y2

4

+

3

4

a2y+

3

16

a2=0，
∴点B的轨迹椭圆；                                                                  （4分）
②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，
设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，-acosφ），（0＜φ＜

π

2

）．设B（x，y，0），则（6分）

AC

=（0，-acosφ，-asinφ）．

AB

=（x，y，-asinφ）．
∴

AB

•

AC

=-acosφ•y+a2sin2φ．
又∵

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosθ=a•

x2+y2+a2sin2φ

•cosθ．
∴-acosφ•y+a²sinφ=a

x2+y2+a2sin2φcosθ

．                      （11分）
平方整理得cos²θ•x²+（cos²θ-cos²φ）y²+a²ysinφsin2φ+a²sin²φ（cos²θ-sin²φ）=0．
i．当cos²θ-cos²φ=0，即θ=φ时，上式为抛物线方程；
ii．当cos²θ-cos²φ＞0，即θ＜φ时，上式为椭圆方程；
iii．当cos²θ-cos²φ＜0，即θ＞φ时，上式为双曲线方程．（14分）
故当φ=

π

2

时，点B的轨迹为圆；
当θ＜φ＜

π

2

时，点B的轨迹为椭圆；
当θ=φ＜

π

2

时，点B的轨迹为抛物线；
当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．                                  （16分）

点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．