Question

（2012•蓝山县模拟）已知关于x的方程9^x-（4+a）•3^x+4=0有两个实数解x₁，x₂，则

x12+x22

x1x2

的最小值是

2

．

Answer 1

分析：由题设可先将3^x看作一个整体，将方程整理为一元二次方程，由根与系数的关系得到3^x₁•3^x₂=4，即可得到x₁+x₂=2log₃2，进而再得到x₁x₂≤（log₃2）²．代入即可求得

x12+x22

x1x2

的最小值

解答：解：原方程可化为（3^x）²-（4+a）•3^x+4=0，
∴3^x₁•3^x₂=4，
∴x₁+x₂=2log₃2，
又（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
∴x₁x₂≤（log₃2）²．
∴

x12+x22

x1x2

=

( x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

4(log32)2

x1x2

-2≥2．
故答案为2

点评：本题考查根与系数的关系，基本不等式在最值问题中的运用，指数型复合函数的应用，本题具有一定的探究性，思维量大，考查了转化化归的思想与推理判断的能力，解答的关键是将内层函数看作一个整体，及结合基本不等式求出x₁x₂≤（log₃2）²．