Question

【题目】如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，线段AB上点F满足AF=2FB，AB长为12，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DE与平面BCEF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴平面BDN⊥平面BCEF，

又∵BN为平面BDN与平面BCEF的交线，

∴D在平面BCEF上的射影在直线BN上，

而D在平面BCEF上的射影在BC上，

∴D在平面BCEF上的射影即为点B，

即BD⊥平面BCEF．

（Ⅱ）解：如图，D在平面BCEF上的射影点为点B，

∴∠DEB为DE与平面BCEF所成的角，

DE=AF=8，NF=2，NE=4，NB=2 ，NB⊥NE，

∴BE=2 ，DB= =6，

∴sin∠DEB= = ，

即直线DE与平面BCEF所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）要证BD⊥BCEF，只需要证明D在平面BCEF上的射影即为点B即可；（2）连接BE，由于D在平面BCEF上的射影点为点B，故∠DEB为DE与平面BCEF所成的角，利用几何关系得出正弦值.
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．