Question

已知函数y=（sinx+cosx）²+2

3

cos²x
（1）求f（

π

3

）的值；     
（2）求它的递减区间；
（3）求它的最大，并指明函数取最大值时相应x的取值集合．

Answer 1

分析：首先利用公式把函数y=（sinx+cosx）²+2

3

cos²x转化为y=Asin（ωx+φ）+B的基本形式；
（1）直接将x=

π

3

代入即可；（2）由正弦函数的递减区间求之；（3）由正弦的最大值求之．

解答：解：y=（sinx+cosx）²+

3

（2cos²x-1）+

3

=1+sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+1+

3

（1）f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

+

π

3

）+1+

3

=1+

3

（2）由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z）
所以f（x）的递减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）
（3）∵-1≤sin（2x+

π

3

）≤1
∴f（x）的最大值为3+

3

当2x+

π

3

=

π

2

+2kπ时，取最大值，解得：x=

π

12

+kπ
故函数取最大值时相应x的取值集合为：{x|x=

π

12

+kπ，k∈Z}．

点评：本题主要考查正余弦的倍角公式及形如y=Asin（ωx+φ）+B的函数的性质，属于中档题．