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已知椭圆的离心率为,且经过点的直径为的长轴.如图,是椭圆短轴端点,动直线过点且与圆交于两点,垂直于交椭圆于点.

1)求椭圆的方程;

2)求 面积的最大值,并求此时直线的方程.

 

【答案】

12

【解析】

试题分析:1)已知椭圆的离心率为即可得到的关系式,再结合椭圆过点,代入椭圆方程组成方程组可求解得到椭圆方程; 2 要求面积可先求两个弦长度,是一直线与圆相交得到的弦长,可采用圆的弦长公式,是椭圆的弦长,使用公式求解,把面积表示成变量的函数, 求其最值时可用换元法求解.对当斜率为0时要单独讨论.

试题解析:1)由已知得到,所以,.

又椭圆经过点,,

解得,

所以椭圆的方程是

2)因为直线且都过点

①当斜率存在且不为0,设直线,直线,,

所以圆心到直线的距离为,所以直线被圆所截弦

, ,

所以,

,

所以,

,,

,

,,等号成立,

面积的最大值为,此时直线的方程为,

②当斜率为0,,此时,

的斜率不存在时,不合题意;

综上, 面积的最大值为,此时直线的方程为.

考点:直线与圆的位置关系,弦长公式,换元法求函数最值.

 

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的离心率为e,两焦点分别为F1、F2,抛物线C以F1为顶点、F2为焦点,点P为抛物线和椭圆的一个交点,若e|PF2|=|PF1|,则e的值为(  )
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
3
D、以上均不对

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆的离心率为
1
2
,焦点是(-3,0),(3,0),则椭圆方程为(  )
A、
x2
36
+
y2
27
=1
B、
x2
36
-
y2
27
=1
C、
x2
27
+
y2
36
=1
D、
x2
27
-
y2
36
=1

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,在由圆O:x2+y2=1和椭圆C:
x2
a2
+y2
=1(a>1)构成的“眼形”结构中,已知椭圆的离心率为
6
3
,直线l与圆O相切于点M,与椭圆C相交于两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线l,使得
OA
OB
=
1
2
OM
2
,若存在,求此时直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知椭圆的离心率为
2
2
,准线方程为x=±8,求这个椭圆的标准方程;
(2)假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30-7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00-8:00之间,请你求出父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,A,B是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右顶点,M是椭圆上异于A,B的任意一点,已知椭圆的离心率为e,右准线l的方程为x=m.
(1)若e=
1
2
,m=4,求椭圆C的方程;
(2)设直线AM交l于点P,以MP为直径的圆交MB于Q,若直线PQ恰过原点,求e.

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