Question

设函数定义在上，，导函数

（Ⅰ）求的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论与的大小关系；

（Ⅲ）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解 （Ⅰ）由题设易知，，

，令得，

当时，，故（0,1）是的单调减区间，

当时，，故是的单调增区间，

因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为.

（Ⅱ），

设，则，

当时，，即，

当时，，

因此，在内单调递减，

当时，，即，

当时，，即.

（Ⅲ）满足条件的不存在.

证明如下：

证法一  假设存在 ，使 对任意 成立，

即对任意，有  ，（*）

但对上述，取时，有  ，这与(*)左边不等式矛盾，

因此，不存在 ，使 对任意成立。

证法二  假设存在，使  对任意的成立。

由（Ⅰ）知， 的最小值为。

又，而时，的值域为，

∴   时， 的值域为，

从而可取一个，使 ，

即 ，故 ，与假设矛盾。