Question

【题目】若函数f（x）满足对任意的两个不相等的正数x1 ， x2 ， 下列三个式子：f（x1﹣x2）+f（x2﹣x1）=0，（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，f（ ）＞ 都恒成立，则f（x）可能是（ ）
A.f（x）=
B.f（x）=﹣x2
C.f（x）=﹣tanx
D.f（x）=|sinx|

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵函数f（x）满足对任意的两个不相等的正数x1，x2，

f（x1﹣x2）+f（x2﹣x1）=0，（x1﹣x2）（f（x1）﹣f（x2））＜0，

∴f（x）是奇函数，且在（0，+∞）上是减函数，

∴选项B和选项D不成立，

∵f（ ）＞ ，

在A中，f（x）= ，

f（ ）= ， = = ，

∵（x1+x2）2= ＞4x1x2，

∴f（ ）＞ ，故A成立；

在C中，f（x）=﹣tanx，

f（ ）=﹣tan ， = =﹣ （tanx1+tanx2），

取 ，x2= ，得f（ ）=f（ ）=﹣tan =﹣1，

= =﹣ （tanx1+tanx2）=﹣1，

此时，f（ ）= ，故C不成立．

故选：A．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的值的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．