Question

设不等式组所表示的平面区域为D_n,记D_n内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为f(n)(n∈N^*).

(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;

(2)记T_n=,若对于一切正整数n,总有T_n≤m成立,求实数m的取值范围;

(3)设S_n为数列{b_n}的前n项和,其中b_n=2^f(n),问是否存在正整数n、t,使＜成立?若存在,求出正整数n,t;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)由题意,作图易得f(1)=3,f(2)=6.

一般地,由x＞0,y＞0,y≤-nx+3n,得0＜x＜3.

又x∈N^*,∴x=1,x=2.

∴D_n内的整点在直线x=1和x=2上.

记直线y=-nx+3n为l,l与直线x=1和x=2的交点的纵坐标分别为y₁、y₂,

则y₁=-n+3n=2n,y₂=-2n+3n=n.

∴f(n)=3n(n∈N^*).

(2)由(1),得T_n=.

∴T_n+1-T_n=-=.

∴当n≥3时,T_n+1＜T_n,且T₁=9＜T₂=T₃=.

于是T₂,T₃是T_n的最大项,故m≥T₂=.

(3)假设存在正整数n、t,使得上面的不等式成立,

由(1),有b_n=8ⁿ,

∴S_n=.

不等式＜,即＜,

解得1＜8ⁿ(8-7t)＜15.

∴n=t=1,

即存在正整数n=1,t=1,使＜成立.