Question

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A′B′CD′中，AP=BQ=b（0＜b＜1），截面PQEF∥A′D，截面PQGH∥AD′.

（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直;

（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值;

（Ⅲ）若，求D′E与平面PQEF所成角的正弦值．

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）证明：在正方形中，又由已知可得

 

  所以 PH⊥PF, PH⊥PQ,

  所以 PH⊥平面PQEF，

  所以平面PQEF和平面PQGH垂直

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知

 ,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是

,是定值。

（Ⅲ）解：连结交PE于点N，连接EN，

 因为交交PE于点N，连接EN，

 所以为与平面PQEF所成的角。

 因为，所以，P、Q、E、F分别为,的中点，

可知.

所以

解法二：

以D为原点，射线DA,DC,DD’分别为x,y,z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D-xyz

由已知得DF-1-b，故A(1,0,0),A`(1,0,1),D(0,0,0), D`(0,0,1),P(1,0,b)，Q（1，1，b），E（1-b,0,0）,F(1-b.0,0),G(b,1,1),H(b,0,1)

(1)    证明：在所建立的坐标系中，可得

因为所以是平面PQEF的法向量。

因为所以是平面PQGH的法向量。

因为所以,

所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直。                    

（Ⅱ）证明：因为，所以,又,所以PQEF为矩形，同理PQGH为矩形。

在所建立的坐标系中可求得

所以又

所以截面PQEF和截面PQGH面积之和为，是定值。

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知是平面PQEF的法向量。

 由P为AA`中点可知，Q、E、F分别为BB`,BC,AD的中点，

所以,因此D`E与平面PQEF所成角的正弦值等于

,