Question

（2013•青岛二模）已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+ln(a+1)（其中a为常数）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围；
（Ⅱ）若存在一条与y轴垂直的直线和函数Γ（x）=f（x）-（a²-1）x+lnx的图象相切，且切点的横坐标x₀满足x₀＞2，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）记函数y=f（x）的极大值点为m，极小值点为n，若2m+5n≥

3 sinx

cosx+2

对于x∈[0，π]恒成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先对函数求导，由函数f（x）在区间（-1，1）不单调，可知f‘（x）在（-1，1）上存在零点，结合函数的零点定理可求a的范围
（Ⅱ）先对已知函数求导可得，Γ′(x)=x2-2ax+

1

x

，由题意设切点的横坐标x₀，从而可得x02-2ax0+

1

x0

=0，分离可得a=

1

2

(x0+

1

x02

)，结合函数y=x+

1

x2

的单调性可求函数的取值范围，进而可求a的范围
（Ⅲ）多函数求导可得f'（x）=x²-2ax+a²-1，然后研究函数的单调性，进而可确定极大值及极小值，由2m+5n≥

3 sinx

cosx+2

对于x∈[0，π]恒成立可建立关于a的不等式，可求

解答：（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+ln(a+1)，
∴f'（x）=x²-2ax+a²-1
因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f'（x）在（-1，1）上存在零点．
而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴f'（x）在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f'（-1）f'（1）＜0，…（2分）
即a²（a+2）（a-2）＜0，又由题意可知：a＞-1
∴a∈（-1，0）∪（0，2）．…（3分）
（Ⅱ）Γ(x)=f(x)-(a2-1)x+lnx=

1

3

x3-ax2+lnx+ln(a+1)，Γ′(x)=x2-2ax+

1

x

，
∵存在一条与y轴垂直的直线和函数Γ（x）=f（x）-（a²-1）x+lnx的图象相切，且切点的横坐标x₀，
∴Γ′(x0)=x02-2ax0+

1

x0

=0⇒a=

1

2

(x0+

1

x02

)，（x₀＞2）…（5分）
令h(x)=

1

2

(x+

1

x2

)（x＞2），则h′(x)=

1

2

(1-

2

x3

)
当x＞2时，h′(x)=

1

2

(1-

2

x3

)＞0，
∴h(x)=

1

2

(x+

1

x2

)在（2，+∞）上为增函数，
从而h(x0)=

1

2

(x0+

1

x02

)＞h(2)=

9

8

，又由题意可知：a＞-1
∴a＞

9

8

…（8分）
（Ⅲ）f'（x）=x²-2ax+a²-1，
由f'（x）=0得：x=a-1，或x=a+1，
当x变化时，f（x），f'（x）变化如下表

x	（-∞，a-1）	a-1	（a-1，a+1）	a+1	（a+1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		极大值		极小值

由表可知：f（x）的极大值点m=a-1，极小值点n=a+1
∴2m+5n=7a+3…（10分）
令h(x)=

3 sinx

cosx+2

，x∈[0，π]，则h′(x)=

3 (2cosx+1)

(cosx+2)2

，
由h′(x)=0⇒x=

2π

3

，
当x∈[0，

2π

3

)时，h'（x）＞0，当x∈(

2π

3

，π]时，h'（x）＜0，
∴当x=

2π

3

时，h（x）取最大值为h(

2π

3

)=1，…（12分）
为满足题意，必须2m+5n≥h（x）_max，所以7a+3≥1，
又由题意可知：a＞-1，
∴a≥-

2

7

…（13分）

点评：本题主要考查了函数的导数在求解函数的单调性、函数的极值中的应用，函数的恒成立与函数的最值的相互转化关系的应用，属于函数知识的综合应用