Question

（2013•重庆）在平面上，

AB1

⊥

AB2

，|

OB1

|=|

OB2

|=1，

AP

=

AB1

+

AB2

．若|

OP

|＜

1

2

，则|

OA

|的取值范围是（　　）

• A．（0，

  5

  2

  ]
• B．（

  5

  2

  ，

  7

  2

  ]
• C．（

  5

  2

  ，

  2

  ]
• D．（

  7

  2

  ，

  2

  ]

Answer 1

分析：建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．

解答：解：根据条件知A，B₁，P，B₂构成一个矩形A，B₁PB₂，以AB₁，AB₂所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB₁|=a，|AB₂|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），
由|

OB1

|=|

OB2

|=1，得

(x-a)2+y2=1 x2+(y-b)2=1

，则

(x-a)2=1-y2 (y-b)2=1-x2

∵|

OP

|＜

1

2

，∴(x-a)2+(y-b)2＜

1

4

∴1-x2+1-y2＜

1

4

∴x2+y2＞

7

4

①
∵（x-a）²+y²=1，∴y²=1-（x-a）²≤1，
∴y²≤1
同理x²≤1
∴x²+y²≤2②
由①②知

7

4

＜x2+y2≤2，
∵|

OA

|=

x2+y2

，∴

7

2

＜|

OA

|≤

2

故选D．

点评：本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．