【题目】已知半径为 的圆C,其圆心在射线y=﹣2x(x<0)上,且与直线x+y+1=0相切.
(1)求圆C的方程;
(2)从圆C外一点P(x0 , y0))向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求△PMC面积的最小值,并求此时点P的坐标.
【答案】
(1)解:已知圆的半径为 ,设圆心C(a,﹣2a)(a<0),
∵圆心到直线x+y+1=0的距离d= ,
∴a=﹣1.
∴圆心C(﹣1,2).
则圆的方程为:(x+1)2+(y﹣2)2=2
(2)解:点P(x0,y0),则PO= ,PM= ,
由|PM|=|PO|,得2x0﹣4y0+3=0,
PM=PO= = =
= .
当 时,PM= .因此,PM的最小值为 .
△PMC面积的最小值是: = .
此时点P的坐标为( , )
【解析】(1)设圆心C(a,﹣2a)(a<0),圆心到直线x+y+1=0的距离d= ,求出圆心,可得圆的方程;(2)由|PM|=|PO|,得2x0﹣4y0+3=0,化简PM=PO= = ,求出PM的最小值,进一步求出△PMC面积的最小值及点P的坐标即可.
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【题目】函数f(x)=loga(ax+1)+mx是偶函数.
(1)求m;
(2)当a>1时,若函数f(x)的图象与直线l:y=﹣mx+n无公共点,求n的取值范围.
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【题目】已知过点P(m,n)的直线l与直线l0:x+2y+4=0垂直. (Ⅰ) 若 ,且点P在函数 的图象上,求直线l的一般式方程;
(Ⅱ) 若点P(m,n)在直线l0上,判断直线mx+(n﹣1)y+n+5=0是否经过定点?若是,求出该定点的坐标;否则,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,CAB=90°,AB=AC=2,AA1= ,M为BC的中点,P为侧棱BB1上的动点.
(1)求证:平面APM⊥平面BB1C1C;
(2)试判断直线BC1与AP是否能够垂直.若能垂直,求PB的长;若不能垂直,请说明理由.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)经过点(1, ),且离心率等于 . (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点P(2,0)作直线PA,PB交椭圆于A,B两点,且满足PA⊥PB,试判断直线AB是否过定点,若过定点求出点坐标,若不过定点请说明理由.
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【题目】已知两条直线l1:2x+y﹣2=0与l2:2x﹣my+4=0.
(1)若直线l1⊥l2 , 求直线l1与l2交点P的坐标;
(2)若l1 , l2以及x轴围成三角形的面积为1,求实数m的值.
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