Question

11．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足a²+c²=b²+ac．
（1）求∠B的大小；
（2）若b=$\sqrt{7}$，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由已知即余弦定理可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），即可求B的值．
（2）根据余弦定理将b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入求出ac的值，再由三角形的面积公式可求得结果．

解答 解：（1）∵a²+c²=b²+ac．
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（II）在△ABC中，由余弦定理得：
b²=a²+c²-2ac•cosB=（a+c）²-2ac-2ac•cosB
将b=$\sqrt{7}$，a+c=4代入整理得ac=3
故S△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3}{2}$sin60°=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用，在求值时经常用到边和角的相互转化，属于基本知识的考查．