Question

某智力测试有5道试题．假定任何智力正常的人答对第i道题的概率是

1

3

（i=1，2，3，4，5）．
（1）求智力正常的人将这5道试题都答错了的概率及至少答对了的4道试题的概率；
（2）如果甲将这5道试题都答错了，乙答对了的4道试题，答错了1道试题．能否判定甲的智力低于正常水平，乙的智力高于正常水平．请运用所学概率知识表达你的观点．

Answer 1

分析：（1）由题意知智力正常的人将这5道试题都答错了的概率可以利用相互独立事件的概率公式求出结果，至少答对了的4道试题包括两种情况，这两种情况是互斥的，得到概率．
（2）根据智力正常的人将这5道试题都答错了的概率P₀=0.132＞0.05因而不能判定甲的智力低于正常水平，智力正常的人答对了的4道试题以上的概率P=0.045＜0.05，根据所得的结论判定出来．

解答：解：（1）智力正常的人将这5道试题都答错了的概率为P0=(1-

1

3

)5=

32

243

=0.132（3分）
答对了的4道试题的概率为P4=

C

4 5

(

1

3

)4(1-

1

3

)=

10

243

=0.041
答对了的5道试题的概率为P5=

C

5 5

(

1

3

)5=

1

243

=0.004
∴智力正常的人答对了的4道试题以上的概率为P=P4+P5=

11

243

=0.045（7分）
（2）智力正常的人将这5道试题都答错了的概率P₀=0.132＞0.05因而不能判定甲的智力低于正常水平  （9分）
智力正常的人答对了的4道试题以上的概率P=0.045＜0.05．根据小概率事件在一次试验中几乎不发生的原理知，假设乙的智力在正常水平，答对了的4道试题的情况几乎不发生．从而可以认定乙的智力高于正常水平．     （12分）

点评：本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，要想计算一个事件的概率，首先我们要分析这个事件是符合什么规律，然后进行求解．