Question

15．在△ABC中，AC=BC=$\sqrt{5}$，AB=2，点O为AB的中点，点E，F分别在BC、CA上，且EF=1，点M是线段EF的中点，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$≤$\frac{25}{16}$，则|$\overrightarrow{OM}$|的最大值为$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

Answer 1

分析 以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，直线AC：y=2x+2，BC：y=-2x+2，设E（m，2m+2），F（n，2-2n），中点M（$\frac{1}{2}$（m+n），2+m-n），由EF=1，可得（m-n）²+（2m+2n）²=1，若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$≤$\frac{25}{16}$，则mn+（2m+2）（2-2n）≤$\frac{25}{16}$，而|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}（m+n）^{2}+（2+m-n）^{2}}$=$\sqrt{\frac{15}{16}（m-n）^{2}+4（m-n）+\frac{65}{16}}$，由-1≤m-n≤0，由对称轴-$\frac{32}{15}$＜-1，利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，
A（-1，0），B（1，0），C（0，2），
直线AC：y=2x+2，BC：y=-2x+2，
设E（m，2m+2），F（n，2-2n），
中点M（$\frac{1}{2}$（m+n），2+m-n），
由EF=1，可得（m-n）²+（2m+2n）²=1，
若$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$≤$\frac{25}{16}$，则mn+（2m+2）（2-2n）≤$\frac{25}{16}$，
而|$\overrightarrow{OM}$|=$\sqrt{\frac{1}{4}（m+n）^{2}+（2+m-n）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{1}{16}（1-（m-n）^{2}）+（2+m-n）^{2}}$
=$\sqrt{\frac{15}{16}（m-n）^{2}+4（m-n）+\frac{65}{16}}$，
由-1≤m-n≤0，
由对称轴-$\frac{32}{15}$＜-1，即有m-n=0时，
取得最大值，且为$\frac{\sqrt{65}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{65}}{4}$．

点评 本题考查了向量的坐标运算、中点坐标公式、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．