Question

成都市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格，90分以下（不包括90分）的则被淘汰．若现有500人参加测试，学生成绩的频率分布直方图如下：
（1）求获得参赛资格的人数；
（2）根据频率直方图，估算这500名学生测试的平均成绩；
（3）若知识竞赛分初赛和复赛，在初
赛中每人最多有3次选题答题的机会，累计
答对2题或答错2题即终止，答对2题者方
可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题
的概率都相同，并且相互之间没有影响，已
知他连续两次答错的概率为

1

9

，求甲通过初
赛的概率．

Answer 1

分析：（1）求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；
（2）由频率分布直方图求数据的平均数，是各个矩形宽的中点横坐标乘以各个矩形的纵坐标的和，在乘以组距即可；
（3）先求出甲答对每一道题的概率，然后根据甲通过初赛说明答对2题，分为两种情形，前2题答对1题和第3题答对或前2题答对，分别求出相应的概率，再相加，即可求出所求．

解答：解：（1）由频率分布直方图得，获得参赛资格的人数为
500×（0.0050+0.0043+0.0032）×20=125人；
（2）（40×0.0065+60×0.0140+80×0.0170+100×0.0050+120×0.0043+140×0.0032）×20
=（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20=78.48   
（3）设甲答对每一道题的概率为p，则（1-p）²=

1

9

解得：p=

2

3

，
甲通过初赛说明答对2题，分为两种情形，前2题答对1题的，第3题答对的概率为

C

1 2

1

3

×

2

3

×

2

3

=

8

27

，
前2题答对的概率为

2

3

×

2

3

=

4

9

，
∴甲通过初赛的概率为

8

27

+

4

9

=

20

27

．

点评：在求频率分布直方图中的问题时，特别注意图中的纵坐标是

频率

组距

、利用频率分布直方图求数据的平均数是利用各个矩形的中点横坐标乘以各个矩形的面积和．属于基础题．