Question

如图，有一正方形钢板ABCD缺损一角（图中的阴影部分），边缘线OC是以直线AD为对称轴，以线段AD的中点O为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．

Answer 1

【答案】分析：根据题意建立坐标系，有题意可得抛物线的方程为，设出切点得出切线方程求出点E、F的坐标，进而表示出梯形的面积再结合二次函数的性质求出面积最大值，最终解决实际问题．
解答：解：以O为原点，直线AD为y轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC的方程为y=ax²（0≤x≤2）
∵点C的坐标为（2，1），
∴2²a=1，
故边缘线OC的方程为．
要使梯形ABEF的面积最大，则EF所在的直线必与抛物线弧OC相切，设切点坐标为，
∵，
∴直线EF的方程可表示为，即，
由此可求得，．
∴，，
设梯形ABEF的面积为S（t），则===．
∴当t=1时，．，
故S（t）的最大值为2.5．此时|AF|=0.75，|BE|=1.75．
答：当AF=0.75m，BE=1.75m时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m²．
点评：解应用题常用的方法是依据题意建立等量关系，构造数学模型利用函数的性质进行求解，而有些应用题有明显的几何意义，可以考虑利用解析法根据题意建立适当的坐标系，构造曲线方程，利用曲线的性质进行求解．