考点：等差数列与等比数列的综合
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）由已知可求出q的值，从而可求数列{a
n}的通项公式；
（2）由已知可求b
n=
，从而可依次写出b
1，b
2，b
3若数列{b
n}为等差数列，则有b
1+b
3=2b
2，从而可确定t的值；
（3）因为c
1=c
2=c
3=2，c
4=4，c
5=c
6=2，检验知m=1，3，4不合题意，m=2适合题意．当m≥5时，若后添入的数2=c
m+1则一定不适合题意，从而c
m+1必定是数列{a
n}中的某一项，设c
m+1=a
k+1则2
k-k
2-k+1=0．由函数的单调性知2
k-k
2-k+1＞0对k∈[5，+∞）恒成立，即有m≥5都不合题意．故满足题意的正整数只有m=2．
解答：
解：（1）因为6a
3=8a
1+a
5，所以6q
2=8+q
4，
解得q
2=4或q
2=2（舍去），则q=2．
又a
1=2，所以a
n=2
n（2）由 2n
2-（t+b
n）n+
b
n=0，得b
n=
，
所以b
1=2t-4，b
2=16-4t，b
3=12-2t，则由b
1+b
3=2b
2，得t=3．
而t=3时，b
n=2n，由b
n+1-b
n=2（常数）知此时数列{b
n}为等差数列．
（3）因为c
1=c
2=c
3=2，c
4=4，c
5=c
6=2，检验知m=1，3，4不合题意，m=2适合题意．
当m≥5时，若后添入的数2=c
m+1则一定不适合题意，从而c
m+1必定是数列{a
n}中的某一项，设c
m+1=a
k+1则
（2+2
2+2
3+…+2
k）+2×（b
1+b
2+b
3+…+b
k）=2×2
k+1所以
+×2=2×2k+1即有2
k-k
2-k+1=0．
记f（k）=2
k-k
2-k+1，则f′（k）=（ln2）•2
k-2k-1．
∵1+2+2
2+…+2
k-1=2
k-1
∴2
k=（1+2+2
2+…+2
k-1）+1＞[1+2+2
2+2
3+2
4+2
2（k-5）]+1=4k+12
又因为2ln2=ln4＞1
∴f′（k）＞2ln2（2k+6）-（2k+1）＞（2k+6）-（2k+1）＞5＞0．
从而f（k）在[5，+∞）上是增函数．
由f（5）=32-25-5+1=3＞0知f（k）＞0对k∈[5，+∞）恒成立．
∴f（k）=0在[5，+∞）无解，即有m≥5都不合题意．
综上可知，满足题意的正整数只有m=2．
点评：本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．
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