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设F1、F2分别是椭圆
x2
4
+y2=1
的左、右焦点,B(0,-1).
(Ⅰ)若P是该椭圆上的一个动点,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(Ⅱ)若C为椭圆上异于B一点,且
BF1
CF1
,求λ的值;
(Ⅲ)设P是该椭圆上的一个动点,求△PBF1的周长的最大值.
分析:(Ⅰ)根据椭圆的方程,求出焦点的坐标,化简
PF1
PF2
的 解析式为
1
4
(3x2-8)
,结合x∈[-2,2],求得它的最值.
(Ⅱ)设C(x0,y0),由
BF1
CF1
,用λ 表示 x0,y0,把C(x0,y0)代入椭圆的方程求得λ值.
(Ⅲ) 因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,可得△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8.
解答:解:(Ⅰ)易知a=2,b=1,c=
3
,所以,F1(-
3
,0),F2(
3
,0)

设P(x,y),则
PF1
PF2
=(-
3
-x,-y)•(
3
-x,-y)=x2+y2-3
 
=x2+1-
x2
4
-3=
1
4
(3x2-8)

因为x∈[-2,2],故当x=0,即点P为椭圆短轴端点时,
PF1
PF2
有最小值-2.
当x=±2,即点P为椭圆长轴端点时,
PF1
PF2
有最大值1.
(Ⅱ)设C(x0,y0),B(0,-1),F1(-
3
,0)
,由
BF1
CF1
,得 x0=
3
(1-λ)
λ
y0=-
1
λ

又 
x02
4
+y02=1
,所以有 λ2+6λ-7=0,解得λ=-7,(λ=1>0舍去).  
(Ⅲ) 因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|,∴△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|≤8.
所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时,△PBF1周长最大,最大值为8.
点评:本题考查椭圆的定义、标准方程,以及椭圆的简单性质的应用,两个向量的数量积公式,解得λ=-7把λ=1>0舍去,是解题的易错点.
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科目:高中数学 来源: 题型:

设F1,F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,若在直线x=
a2
c
上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是
3
3
,1)
3
3
,1)

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设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点,若椭圆C上的一点A(1,
3
2
)到F1,F2的距离之和为4.
(1)求椭圆方程;
(2)若M,N是椭圆C上两个不同的点,线段MN的垂直平分线与x轴交于点P,求证:|
OP
|<
1
2

(3)若M,N是椭圆C上两个不同的点,Q是椭圆C上不同于M,N的任意一点,若直线QM,QN的斜率分别为KQM•KQN.问:“点M,N关于原点对称”是KQM•KQN=-
3
4
的什么条件?证明你的结论.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2009•南汇区二模)设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(3)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.

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(2013•安徽)设椭圆E:
x2
a2
+
y2
1-a2
=1
的焦点在x轴上
(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(2)设F1,F2分别是椭圆E的左、右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q,证明:当a变化时,点P在某定直线上.

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(2009•南汇区二模)设F1、F2分别是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,其右焦点是直线y=x-1与x轴的交点,短轴的长是焦距的2倍.
(1)求椭圆的方程;
(2)若P是该椭圆上的一个动点,求
PF1
PF2
的最大值和最小值;
(3)若P是该椭圆上的一个动点,点A(5,0),求线段AP中点M的轨迹方程.

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