Question

设

a

=(1，cos2θ)，

b

=(2，1)，

c

=(4sinθ，1)，

d

=(

1

2

sinθ，1)其中θ∈(0，

π

4

)．
（1）求

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围；
（2）若f(x)=

x-1

，f(

a

•

b

)+f(

c

•

d

)=

6

2

+

2

2

，求cosθ-sinθ的值．

Answer 1

分析：利用向量的数量积的坐标表示求出

a

 •

b

- 

c

•

d

=cos2θ+2-2sin2θ +1①
（1）利用二倍角公式化简①，由已知θ∈(0，

π

4

)结合三角函数的图象可求取值范围．
（2）由已知整理可得cosθ+sinθ=

1+ 3

2

?sin2θ=

3

2

，结合题中θ∈(0，

π

4

)可求θ，从而可得结果．
（法二）由θ∈(0，

π

4

)可得sinθ＞cosθ，要求cosθ-sinθ，可先求（cosθ-sinθ）²

解答：解：

a

•

b

=2+cos2θ  

c

•

d

=2sin2θ+1（2分）
（1）

a

•

b

-

c

•

d

=2+cos2θ-2sin2θ-1=cos2θ+1-2sin2θ=2cos2θ（4分）
∵θ∈(0，

π

4

)
∴2cos2θ∈（0，2）
即

a

•

b

-

c

•

d

的取值范围是（0，2）（7分）
（2）∵f(

a

•

b

)=

a • b -1

=

1+cos2θ

=

2

|cosθ|=

2

cosθ
f(

c

•

d

)=

c • d -1

=

2

|sinθ|=

2

sinθ（10分）
∴f(

a

•

b

)+f(

c

•

d

)=

2

(cosθ+sinθ)=

6

2

+

2

2

∴cosθ+sinθ=

3

2

+

1

2

∴(cosθ+sinθ)2=1+

3

2

=1+2sinθcosθ
∴sin2θ=

3

2

因为θ∈(0，

π

4

)所以2θ=

π

3

    θ=

π

6

故cosθ-sinθ=

3

2

-

1

2

（14分）
（注亦可：(cosθ-sinθ)2=1-2sinθcosθ=1-

3

2

=

4-2 3

4

cosθ-sinθ=±

3 -1

2

θ∈(0，

π

4

)
sinθ＜cosθ∴cosθ-sinθ=

3

2

-

1

2

）

点评：本题以平面向量数量积的坐标表示为载体，综合考查了向量数量积的运算，同角平方关系，二倍角公式，平面向量与三角函数的综合考查一直是进几年高考的重点内容之一，要重点掌握．