Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA₁⊥平面ABCD．
（1）证明：平面A₁AE⊥平面A₁DE；
（2）若DE=A₁E，试求异面直线AE与A₁D所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°-∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA₁，得DE⊥平面A₁AE，从而得到平面A₁AE⊥平面平面A₁DE．
（2）取BB₁的中点F，连接EF、AF，连接B₁C．证出EF∥A₁D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A₁D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A₁D所成角的余弦值．
解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），
∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），
又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°-∠ECD）=30°…（3分）
∴∠AED=180°-∠CED-∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），
∵AA₁⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA₁．…（5分），
∵AA₁∩AE=A，∴DE⊥平面A₁AE…（6分），
∵DE⊆平面A₁DE，∴平面A₁AE⊥平面A₁DE．…（7分）．
（2）取BB₁的中点F，连接EF、AF，连接B₁C，…（8分）
∵△BB₁C中，EF是中位线，∴EF∥B₁C
∵A₁B₁∥AB∥CD，A₁B₁=AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，可得B₁C∥A₁D
∴EF∥A₁D…（9分），
可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A₁D所成的角…（10分）．
∵△CDE中，DE=CD==A₁E=，AE=AB=1
∴A₁A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），
∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A₁D所成角的余弦值为…（14分）
点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．