Question

设a＞0，函数f(x)=

1

2

x2-4x+aln2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x=3时，函数 f（x）取得极值，证明：当θ∈[0，

π

2

]时，|f(1+2cosθ)-f(1+2sinθ)|≤4-3ln3．

Answer 1

分析：（1）根据函数求导公式求函数的导数，根据导数值的正负判断函数的单调性．
（2）根据x=3时函数取极值得x=3是导数值为零，求出a，再根据函数的导数求出函数的极值，进而求出函数的最值，根据两最值的差最大证明|f（1+2cosθ）-f（1+2sinθ）|≤4-3ln3

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=x-4+

a

x

=

x2-4x+a

x

=

(x-2)2+a-4

x

（2分）
（1）当a≥4时，f'（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）当0＜a＜4时，令f'（x）＞0，即（x-2）²+a-4＞0，
解得x＜2-

4-a

，或x＞2+

4-a

．
因此，函数f（x）在区间(0，2-

4-a

)内单调递增，在区间(2+

4-a

，+∞)内也单调递增．
令f'（x）＜0，即（x-2）²+a-4＜0，
解得2-

4-a

＜x＜2+

4-a

．
因此，函数f（x）在区间(2-

4-a

，2+

4-a

)内单调递减．（7分）
（Ⅱ）当x=3时，函数f（x）取得极值，即f'（3）=0，
∴3²-4×3+a=0，∴a=3．
由（Ⅰ）f（x）在（0，1）单调递增，在（1，3）单调递减，（3，+∞）单调递增．
f（x）在x=1时取得极大值f(1)=3ln2-

7

2

；
f（x）在x=3时取得极小值f(3)=3ln6-

15

2

，
故在[1，3]上，f（x）的最大值是f(1)=3ln2-

7

2

，最小值是f(3)=3ln6-

15

2

；
对于任意的x₁，x₂∈[1，3]，|f（x₁）-f（x₂）|≤3ln2-

7

2

-(3ln6-

15

2

)=4-3ln3．（11分）
当θ∈[0，

π

2

]时，cosθ，sinθ∈[0，1]，1+2cosθ，1+2sinθ∈[1，3]
从而；|f（1+2cosθ）-f（1+2sinθ）|≤4-3ln3（13分）

点评：该题考查函数的求导公式，利用导数求极值和最值，属于简单基础题，注意函数的定义域．