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如右图所示,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.

(1)求三棱锥E—PAD的体积;

(2)当点E为BC的中点时,试判断EF与平面PAC的位置关系,并说明理由;

(3)证明:无论点E在边BC的何处,都有PE⊥AF.

 

【答案】

(1)三棱锥E—PAD的体积

V=PA·SADE=PA·=.

(2)当点E为BC的中点时,EF与平面PAC平行.

∵在△PBC中,E、F分别为BC、PB的中点,

∴EF∥PC,又EF⊄平面PAC,而PC⊂平面PAC,

∴EF∥平面PAC.

(3)证明:∵PA⊥平面ABCD,BE⊂平面ABCD,

∴EB⊥PA,

又EB⊥AB,AB∩AP=A,AB,AP⊂平面PAB,

∴EB⊥平面PAB,又AF⊂平面PAB,∴AF⊥EB,

又PA=AB=1,点F是PB中点,

∴AF⊥PB又∵PB∩BE=B,

PB,BE⊂面PBE,

∴AF⊥面PBE,

∵PE⊂面PBE,∴PE⊥AF.

【解析】略

 

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