Question

已知函数f（x）在R上满足2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是

2x-y-1=0

．

Answer 1

分析：令x=1-x代入所给的式子化简后求出f（1-x），再代入所给的式子求出f（x），再求出f′（x），再求出f′（1）和f（1），代入点斜式方程，再化为一般式直线方程．

解答：解：令x=1-x代入2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1得，
2f（1-x）+f（x）=3（1-x）²-2（1-x）+1=3x²-4x+2，
∴f（1-x）=

1

2

[（3x²-4x+2）-f（x）]，
代入2f（x）+f（1-x）=3x²-2x+1，
得f（x）=x²，则f′（x）=2x，
∴f′（1）=2，f（1）=1，
∴切线方程为：y-1=2（x-1），即2x-y-1=0，
故答案为：2x-y-1=0．

点评：本题考查了导数的几何意义，在切点处的导数值是切线斜率，求切线方程，以及赋值法函数解析式的求法．