Question

二次函数y=-x²+4x+12的图象与x轴交于A、B两点．
（1）A、B之间的距离是多少？
（2）设C是AB弧上任一点，则△ABC的面积最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）令二次函数y=-x²+4x+12=0，可求出图象与x轴点A、B的坐标，结合数轴上两点距离定义，可得答案．
（2）若C是AB弧上任一点，则△ABC的面积最大时，过C点的切线与x轴平行，则C此时为函数图象的顶点，代入三角形面积公式，可得答案．

解答：解：（1）令y=-x²+4x+12=0
则x=6，或x=-2
则A、B两点的坐标分别为（-2，0）点和（6，0）点
则A、B之间的距离|AB|=|-2-6|=8
（2）∵C是AB弧上任一点，设C点坐标为（x，y），则-2＜x＜6
若△ABC的面积最大
则y′|_x=-2x+4=0
解得x=2，此时y=16
此时△ABC的底为8，高为16
故△ABC的面积最大值是

1

2

×8×16=64

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，熟练掌握二次函数，二次方程之间的关系是解答的关键．