Question

某港口水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：

t（小时）	0	3	6	9	12	15	18	21	24
y（米）	10.0	13.0	9.9	7.0	10.0	13.0	10.1	7.0	10.0

经长期观察：y=f（t）的曲线可近似看成函数y=Asinωt+b的图象（A＞0，ω＞0）．
（1）求函数y=f（t）的近似表达式；
（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问：它至多能在港内停留多长时间？

Answer 1

分析：（1）由表格得到三角函数的周期，利用周期公式求出ω；利用A等于最大值减去最小值和的一半；b等于最大值加上最小值的差的一半，求出f（t）．
（2）将实际问题转化为 不等式，列出不等式，结合三角函数的图象求出不等式的解集．

解答：解：（1）由题知：周期T=12，故ω=

π

6

，
又b=10，A=3，∴y=3sin

π

6

t+10．
（2）由题知：y=3sin

π

6

t+10≥5+6.5，∴sin

π

6

t≥

1

2

1+12k≤t≤5+12k，k∈Z 0≤t≤24

∴1≤t≤5或13≤t≤17
如图：

当该船1时入港，17时出港，停留时间最长，为16小时．

点评：本题考查据三角函数的性质求三角函数的解析式、结合三角函数的图象求三角不等式．