Question

已知b为二项式（9+x）ⁿ展开式中各项系数之和，且

lim

n→∞

b+an

10b+an+1

=

1

a

，则实数a取值范围是

（-∞，-10）∪[10，+∞）

．

Answer 1

分析：依题意，b=10ⁿ，再由

lim

n→∞

10n+an

10n+1+an+1

=

1

a

⇒|a|≥10且a≠-10，解此不等式即可得答案．

解答：解：∵b为二项式（9+x）ⁿ展开式中各项系数之和，
∴b=（9+1）ⁿ=10ⁿ，
∴

lim

n→∞

b+an

10b+an+1

=

lim

n→∞

10n+an

10n+1+an+1

=

1

a

，
∴|a|≥10且a≠-10，
∴a＜-10或a≥10．
∴实数a取值范围是a＜-10或a≥10．
故答案为：（-∞，-10）∪[10，+∞）．

点评：本题考查求极限，考查二项式系数的性质，求得b=10ⁿ，继而求得|a|≥10且a≠-10是关键，也是难点，忽略a≠-10是易错点，考查缜密思维，细心思维，属于难题．