Question

设p：a²-a＜0．q：当x∈[1，2]时，x²-x-4a≤0恒成立．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求a的范围．

Answer 1

【答案】分析：可在p真的基础上求得a的范围，同理在q真的基础上求得a的范围，再由“p∨q为真命题，p∧q为假命题”可得p与q有且只有一个为真命题，分类讨论即可．
解答：解：对于p：∵a²-a＜0
∴0＜a＜1．
设f（x）=x²-x-4a，x∈[1，2]．
其对称轴，故f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）_max=f（2）=2-4a．
由x∈[1，2]时，x²-x-4a≤0恒成立，得2-4a≤0，即．
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p与q有且只有一个为真命题．
如果p真且q假，则；
如果p假且q真，则a≥1．
所以a的取值范围为（0，）∪[1，+∞）．
点评：本题考查二次函数在闭区间上的最值，着重考查复合命题的真假的判断，难点在于对“x∈[1，2]时，x²-x-4a≤0恒成立”的理解与应用，突出考查化归思想与分类讨论思想，属于中档题．