Question

如下图，已知正三棱台上、下底面面积分别为S₁和S(S₁＜S)，侧面与底面所成二面角为，求这个棱台的侧面积．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：如题图，设正三棱台ABC－A1B1C1中，O1、O分别为上、下底面中心，D1、D分别为B1C1、BC的中点，连结D1D，则D1D为斜高，∠D1DO为侧面B1BCC1与底面ABC所成二面角的平面角，故∠D1DO＝． 　　连结A1D1、AD、O1O，在直角梯形O1ODD1中，O1D1＝B1C1，OD＝BC， 　　∴D1D＝． 　　∴S侧＝×3(BC＋B1C1)×D1D＝(BC2－B1C12) 　　＝(×BC2－×B1C12)＝(S－S1)． 　　解法二：如下图，分别延长AA1、BB1、CC1相交于点P，把正棱台还原为正三棱锥，连结OA、OB、OC、O1A1、O1B1、O1C1． 　　由射影面积定理可得S△PAB＝，S△PBC＝，S△PAC＝． 　　将以上三式相加，得SP－ABC侧＝． 　　同理，＝． 　　∴S正三棱台侧＝SP－ABC侧－＝．