Question

已知直线y=﹣x+1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若OA⊥OB（其中O为坐标原点），当椭圆的离率e∈时，求椭圆的长轴长的最大值．

Answer 1

解（1）∵e=．又2c=2，解得a=，
则b=
∴
（2）由
消去y得（a²+b²）·x²﹣2a²·x+a²·（1﹣b²）=0，
由△=（﹣2a²）²﹣4a²（a²+b²）（1﹣b²）＞0，
整理得a²+b²＞1．
设A（x₁，y₁，），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=．
∴y₁y₂=（﹣x₁+1）（﹣x₂+1）=x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O为坐标原点），
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即2x₁x₂﹣（x₁+x₂）+1=0．
∴+1=0．
整理得a²+b²﹣2a²b²=0．
∵b²=a²﹣c²=a²﹣a²e²，代入上式得
2a²=1+，
∴a²=．
∵e∈∴，
∴，
∴≤2，∴≤3，
∴，适合条件a²+b²＞1，
由此得．
∴，
故长轴长的最大值为