Question

用数学归纳法证明，若f（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，则n+f（1）+f（2）+…+f（n-1）=n•f（n）（n≥2，且n∈N₊）．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：证明题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：应用数学归纳法证明问题，①验证n=1时命题成立；②假设n=k时，命题成立，从假设出发，经过推理论证，证明n=k+1时也成立，从而证明命题正确．

解答： 解：（1）当n=2时，左边=2+f（1）=2+1=3，
右边=2•f（2）=2×（1+

1

2

）=3，左边=右边，等式成立．ks5u
（2）假设n=k时等式成立，即
k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）．
由已知条件可得f（k+1）=f（k）+

1

k+1

，
右边=（k+1）•f（k+1）（先写出右边，便于左边对照变形）．
当n=k+1时，左边=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）
=[k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）]+1+f（k）（凑成归纳假设）
=kf（k）+1+f（k）（利用假设）
=（k+1）•f（k）+1
=（k+1）•[f（k+1）-

1

k+1

]+1
=（k+1）•f（k+1）=右边．
∴当n=k+1时，等式也成立．
由（1）（2）可知，对一切n≥2的正整数等式都成立．

点评：考查数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，特别是（2）是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属中档题．