Question

9．下列四个命题：
①抛物线x²=4y的焦点坐标是（1，0）；
②等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则公比为$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为$5+2\sqrt{6}$；
④在△ABC中，已知$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，则∠A=60°．
正确命题的序号有③④．

Answer 1

分析 ①抛物线x²=4y的焦点在y轴上，判断原命题错误；
②等差数列{a_n}为常数列时，公比q=1，判断原命题错误；
③利用基本不等式求出$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为$5+2\sqrt{6}$，判断原命题正确；
④由正弦定理得出$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，A=B=C=60°判断原命题正确．

解答 解：对于①，抛物线x²=4y的焦点坐标是（0，1），原命题错误；
对于②，等差数列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比数列，则${{（a}_{1}+2d）}^{2}$=a₁（a₁+3d），
当d=0时，a₁=a₃=a₄，公比q=1；
当d≠0时，a₁=-4d，a₃=-2d，a₄=-d，公比q=$\frac{1}{2}$；原命题错误；
对于③，a＞0，b＞0，a+b=1，则
$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=$\frac{2a+2b}{a}$+$\frac{3a+3b}{b}$=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}{b}$≥5+2$\sqrt{6}$，当且仅当$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}{b}$时“=”成立；
即最小值为$5+2\sqrt{6}$，原命题正确；
对于④，△ABC中，$\frac{a}{cosA}=\frac{b}{cosB}=\frac{c}{cosC}$，
由正弦定理得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
即tanA=tanB=tanC；
又A、B、C∈（0，π），
所以A=B=C=60°；原命题正确；
综上，正确的命题序号是③④．
故答案为：③④．

点评 本题考查了命题真假的判断问题，也考查了抛物线与等差、等比数列的应用问题，基本不等式与解三角形的应用问题，是综合性题目．