Question

（1）a，b∈R证明|a+b|≥|a|-|b|，
（2）已知 |x-a|＜

c

2

，|y-b|＜

c

2

，求证|（x+y）-（a+b）|＜c．

Answer 1

分析：（1）欲证明原不等式成立，考虑到当|a|-|b|≤0时已成立，故只须证明当|a|-|b|＞0时成立即可．利用分析法证明即得；
（2）先将原不等式的左边化成|（x-a）+（y-b）|，再利用三角不等式进行放缩即可得到证明．

解答：证明：（1）当|a|-|b|≤0时，|a+b|≥|a|-|b|成立，
当|a|-|b|＞0时，即证明|a+b|²≥（|a|-|b|）²，
整理得 a²+b²+2ab≥a²+b²-2|ab|．
即证ab≥-|ab|
易知上不等式成立，
所以原不等式也成立．
综上，|a+b|≥|a|-|b|，
（2）∵|（x+y）-（a+b）|=|（x-a）+（y-b）|
由三角不等式得，|（x-a）+（y-b）|≤|x-a|+|y-b|＜

c

2

+

c

2

=c．
∴|（x+y）-（a+b）|＜c．

点评：本题主要考查了绝对值不等式的证明，考查了三角不等式的应用，考查了转化思想，属于中档题．