Question

4．连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a_i，若存在正整数k，使a₁+a₂+…+a_k=6，则称k为你的幸运数字．
（1）求你的幸运数字为3的概率；
（2）若k=1，则你的得分为6分；若k=2，则你的得分为4分；若k=3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分，求得分ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）设“连续抛掷k次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A₁、A₂，A₃，其中A₁：三次恰好均为2；A₂：三次中恰好1，2，3各一次．A₃：三次中有两次均为1，一次为4，A₁，A₂为互斥事件，由此能求出k=3的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）设“连续抛掷k次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A₁、A₂，A₃，
其中A₁：三次恰好均为2；A₂：三次中恰好1，2，3各一次．A₃：三次中有两次均为1，一次为4，
A₁，A₂为互斥事件，则k=3的概率：
P（A）=P（A₁）+P（A₂）+P（A₃）
=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{6}）^{3}$+${C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{1}^{1}•\frac{1}{6}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}$$•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{108}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为6，4，2，0，
P（ξ=6）=$\frac{1}{6}$，
 P（ξ=4）=$（\frac{1}{6}）^{2}$+${C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•\frac{1}{6}$+${C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{36}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{6}）^{3}$+${C}_{3}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{2}^{1}•\frac{1}{6}•{C}_{1}^{1}•\frac{1}{6}$+${C}_{3}^{2}（\frac{1}{6}）^{2}$$•\frac{1}{6}$=$\frac{5}{108}$．
P（ξ=0）=1-$\frac{1}{6}$-$\frac{5}{36}$-$\frac{5}{108}$=$\frac{35}{54}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	6	4	2	0
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{5}{108}$	$\frac{35}{54}$

∴Eξ=6×$\frac{1}{6}$+4×$\frac{5}{36}$+2×$\frac{5}{108}$+0×$\frac{70}{108}$=$\frac{89}{54}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．