Question

（2009•武昌区模拟）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知

b=c 1 2 bc=1

解得b，c，从而a=2．最后写出椭圆方程；
（2）可设直线AM的方程为y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求出P点的横坐标x₁，再利用向量垂直即可求得C点的横坐标x₀，从而解决问题．

解答：解：（1）由题意知

b=c 1 2 bc=1

解得b=c=

2

，从而a=2．
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1（4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可设直线AM的方程为y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直线AM代入椭圆方程x²+2y²=4，
得 （1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）
∴x1(-2)=

8k2-4

2k2+1

，
∴x₁=

2-4k2

2k2+1

，
∴P（

2-4k2

2k2+1

，

4k2

2k2+1

），
设C（x₀，0），且x₀≠-2，以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，则
MC⊥BP，∴

MC

•

BP

=0，即：（2-x₀）

-8k2

2k2+1

+4k

4k

2k2+1

=

8k2

2k2+1

x 0=0，
∴x₀=0，
故存在异于点A的定点C（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点．

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．