在直角坐标平面中.已知点P1(1.2).P2(2.22).P3(3.23).-.Pn(n.2n).其中n是正整数.对平面上任一点A0.记A1为A0关于点P1的对称点.A2为A1关于点P2的对称点.-.An为An-1关于点Pn的对称点．(1)求向量A0A2的坐标,(2)当点A0在曲线C上移动时.点A2的轨迹是函数y=f是以3为周期的周期函数.且当x∈=lgx．求以曲线C为图象的函数在(1.4]上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在直角坐标平面中，已知点P₁（1，2），P₂（2，2²），P₃（3，2³），…，P_n（n，2ⁿ），其中n是正整数，对平面上任一点A₀，记A₁为A₀关于点P₁的对称点，A₂为A₁关于点P₂的对称点，…，A_n为A_n-1关于点P_n的对称点．
（1）求向量

A0A2

的坐标；
（2）当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．

分析：（1）若两个点关于第三点对称，则第三点为这两个点的中点，所以先设出A₀的坐标，利用对称求出A₁坐标，A₂坐标，就可以得到向量

A0A2

的坐标．
（2）先根据函数y=f（x）的周期性和x∈（0，3]时，f（x）的解析式求出x∈（3，6]时，f（x）的解析式，再把（1）中求出A₂点坐标代入，化简，即得当x₀∈（1，4]时x₀，y₀满足的关系式，即为以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．

解答：解：（1）设A₀（x₀，y₀），∵A₁为A₀关于点P₁的对称点，
∴A₁坐标为（2-x₀，4-y₀）
∵A₂为A₁关于点P₂的对称点，∴A₂坐标为（2+x₀，4+y₀）
∴

A0A2

=(2，4)；
（2）∵f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx
∴当x∈（3，6]时，f（x）=lg（x-3）
∵A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，
∴当2+x₀∈（3，6]时，4+y₀=lg（2+x₀-3）=lg（x₀-1），
即x₀∈（1，4]时，4+y₀=lg（x₀-1），y₀=lg（x₀-1）-4，
∴A₀（x₀，y₀）点满足y=lg（x-1）-4．
∴当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x-1）-4．

点评：本题主要考查了中点坐标公式的应用，以及利用函数周期性求函数解析式的方法．

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（1）求向量

A0A2

的坐标；
（2）当点A₀在曲线C上移动时，点A₂的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式；
（3）对任意偶数n，用n表示向量

A0An

的坐标．

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B0B10

（20，20）

．

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