Question

设a、b是不共线的两个非零向量，
（1）若

OA

=2a-b，

OB

=3a+b，

OC

=a-3b，求证：A、B、C三点共线．
（2）若8a+kb与ka+2b共线，求实数k的值；
（3）设

OM

=ma，

ON

=nb，

OP

=α a+β b，其中m、n、α、β均为实数，m≠0，n≠0，若M、P、N三点共线，
求证：

α

m

+

β

n

=1．

Answer 1

分析：（1）要证三点共线，先构造以这三点为起点和终点的向量，让所给的三个向量两两相减，得到关于A、B、C的向量，加以验证即可．
（2）两个向量共线，则其中一个可以写成另一个的实数倍，根据系数相等，构成方程，解方程即可．
（3）这一问恰好和第一问相反，但是解题的原理是一样的，从三点共线入手，得到系数之间的关系，根据α、β和其他几个量之间的关系，得到结论．

解答：解：（1）证明：∵

AB

=（3a+b）-（2a-b）=a+2b，
而

BC

=（a-3b）-（3a+b）=-2a-4b=-2

AB

，
∴

AB

与

BC

共线，且有公共端点B，
∴A、B、C三点共线．
（2）∵8a+kb与ka+2b共线，∴存在实数λ，使得（8a+kb）=λ（ka+2b）?（8-λk）a+（k-2λ）b=0，
∵a与b不共线，

8-λk=0 k-2λ=0

?8=2λ=±2∴k=2λ=±4．
（3）证明：∵M、P、N三点共线，∴存在实数λ，使得

MP

=λ

PN

，
∴

OP

=

OM +λ ON

1+λ

=

m

1+λ

a+

λn

1+λ

b．
∵a、b不共线，∴

α= m 1+λ β= λn 1+λ

∴

α

m

+

β

n

=

1

1+λ

+

λ

1+λ

=1．

点评：本题主要考查的是向量共线和向量用基底表示，用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题．