Question

14．若曲线x²+（y+3）²=4（其中y≥-3）与直线y=k（x-2）有两个不同的交点，则实数k的取值范围为$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 曲线x²+（y+3）²=4（其中y≥-3）表示以（0，-3）为圆心，2为半径的圆的上半圆，y=k（x-2）恒过点（2，0），过（2，0），（-2，-3）的直线的斜率为$\frac{3}{4}$，圆心（0，-3）到直线的距离d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，可得k=$\frac{5}{12}$，利用条件即可结论．

解答 解：曲线x²+（y+3）²=4（其中y≥-3）表示以（0，-3）为圆心，2为半径的圆的上半圆，
y=k（x-2）恒过点（2，0），过（2，0），（-2，-3）的直线的斜率为$\frac{3}{4}$，
圆心（0，-3）到直线的距离d=$\frac{|3-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，可得k=$\frac{5}{12}$，
∵曲线x²+（y+3）²=4（其中y≥-3）与直线y=k（x-2）有两个不同的交点，
∴$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．
故答案为$\frac{5}{12}$＜k≤$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．