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    如图，在45°的二面角α-l-β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α，β内，且AC⊥AB，∠ABD=45°，AC=AB=BD=1，则CD的长度为（　　）
    分析：过D作DE垂直AB于E，由已知中二面角α-l-β为45°，且AC⊥AB，∠ABD=45°，AC=AB=BD=1，计算出DE，AE长后，代入异面直线上两点距离公式，可得答案．
    解答：解：过D作DE垂直AB于E
    ∠ABD=45°，BD=1，
    ∴DE=
    		2
    2

    又∵AB=1
    ∴AE=1-
    		2
    2

    又∵二面角α-l-β为45°
    故CD=
    		AC2+AE2+DE2-2AC•DE•COS45°
    =
    		2-
    		2

    故选B
    点评：本题考查的知识点是异面直线上两点之间的距离公式，其中计算出DE，AE长是解答本题的关键．
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    （2013•广元二模）如图，在五面体EF-ABCD中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD=l，AD=2
    		2
    ，∠BAD=∠CDA=45°．
    ①证明：CD⊥平面ABF；
    ②求二面角B-EF-A的正切值．

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    （2012•淮南二模）如图，在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BE=BC，AE⊥BE，M为CE上一点，且BM⊥面ACE．
    （1）求证：AE⊥BC；
    （2）若点N为线段AB的中点，求证：MN∥面ADE；
    （3）若 BE=4，CE=4
    		2
    ，且二面角A-BC-E的大小为45°，求三棱锥C-ABE的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•广安二模）如图，在三棱锥P-ABC中，PB⊥面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=2，∠PAB=45°，点D，E，F分别是AC，AB，BC的中点．
    （1）求证：EF⊥PD；
    （2）求直线PF与平面PBD所成的角的大小；
    （3）求二面角E-PF-B的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•桂林二模）如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，AA1=1，F在棱AB（不含端点）上，且C1F与底面ABCD所成角的大小为45°
    （Ⅰ）证明：直线D1B1⊥平面FCC1；
    （Ⅱ）求二面角B-FC1-C的大小．

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    科目：高中数学 来源：2012年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷解析版） 题型：解答题

    如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

    （Ⅰ）证明PC⊥AD；

    （Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

    （Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长.

     

    【解析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

    （1）证明：易得，于是,所以

    (2) ,设平面PCD的法向量，

    则,即.不防设，可得.可取平面PAC的法向量于是从而.

    所以二面角A-PC-D的正弦值为.

    （3）设点E的坐标为（0,0，h），其中，由此得.

    由，故 

    所以，，解得，即.

    解法二：（1）证明：由，可得，又由,,故.又,所以.

    (2)如图，作于点H，连接DH.由,,可得.

    因此,从而为二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

    因此所以二面角的正弦值为.

    （3）如图，因为，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF. 故或其补角为异面直线BE与CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

    在中，由,,

    可得.由余弦定理，,

    所以.

     

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