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已知f(x)是一次函数,且f(0)=3,f(1)=5.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若当-2≤x≤1时,函数f(x)+3tx+t>0恒成立,求实数t的取值范围.
分析:(1)根据函数是一次函数,则设出其解析式,再由条件代入求解.
(2)当-2≤x≤1时,函数f(x)+3tx+t>0恒成立,可转化为(3t+2)x+t+3>0在-2≤x≤1上恒成立,构造函数g(x)=(3t+2)x+t+3,知g(x)的图象在-2≤x≤1上是一条线段,因此有
g(-2)>0
g(1)>0
-5t-1>0
4t+5>0
,从而
可求实数t的取值范围.
解答:解:(1)设f(x)=kx+b(k≠0)(2分)
f(0)=b=3
f(1)=k+b=5
b=3
k=2
⇒f(x)=2x+3
(6分)
(2)由f(x)+3tx+t>0在-2≤x≤1上恒成立,
得(3t+2)x+t+3>0在-2≤x≤1上恒成立(8分)
令g(x)=(3t+2)x+t+3,知g(x)的图象在-2≤x≤1上是一条线段,
只需线段的两端点在x轴的上方(10分)
因此要(3t+2)x+t+3>0在-2≤x≤1上恒成立,
只要:
g(-2)>0
g(1)>0
-5t-1>0
4t+5>0
(12分)
得:-
5
4
<t<-
1
5
(14分)
点评:本题主要考查求函数解析式以及恒成立问题的处理,体现了数形结合的思想和方法.
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