Question

根据如图所示的流程图，将输出的a的值依次分别记为a₁，a₂，…，a_n，…，a₂₀₀₈，将输出的b的值依次分别记为b₁，b₂，…，b_n，…，b₂₀₀₈．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}通项公式；
（Ⅱ）依次在a_k与a_k+1中插入b_k+1个3，就能得到一个新数列{c_n}，则a₄是数列{c_n}中的第几项？
（Ⅲ）设数列{c_n}的前n项和为S_n，问是否存在这样的正整数m，使数列{c_n}的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中的程序流程图，可得a₁=1，a_n+1=a_n+1，根据等差数列的定义，可得数列{a_n}是公差为1，首项为1的等差数列，进而可得出数列{a_n}的通项公式，进而根据b₁=0，b_n+1=3b_n+2，得到{b_n+1}是首项为1，公比为3的等比数列，先求出数列{b_n+1}的通项公式，进而得到数列{b_n}的通项公式．
（II）由已知中数列{c_n}的构造法则，我们由a₄=4，我们列举出数列{c_n}中4之间的所有项，即可得到结论；
（III）由（II）中数列{c_n}的构造法则，及（I）中结论，我们可得a_k项（含a_k）前的所有项的和是：(1+2+…k)+(31+32+…+3k)=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，易分析出k=7时，S_m＜2008，k=8时，S_m＞2008，结合2008-1120为3的倍数，故存在m的值满足条件，进而可得到结果．

解答：解：（Ⅰ）由流程图，a₁=1，a_n+1=a_n+1，
∴{a_n}是公差为1的等差数列．∴a_n=n．（2分）
由流程图，b₁=0，b_n+1=3b_n+2，
∴b_n+1+1=3（b_n+1）．
∴{b_n+1}是首项为1，公比为3的等比数列．
∴b_n+1=（b₁+1）×3^n-1=3^n-1，∴b_n=3^n-1-1．（6分）
（Ⅱ）{c_n}的前几项为1， 

3

1个3

， 2， 

3， 3， 3，

3个3

 3， 

3， …， 3

9个3

， 4， …，a₄=4，∴a₄是数列{c_n}中的第17项．（9分）
（Ⅲ）数列{c_n}中，a_k项（含a_k）前的所有项的和是：(1+2+…k)+(31+32+…+3k)=

k(k+1)

2

+

3k-3

2

，（11分）
当k=7时，其和为28+

37-3

2

=1120＜2008，
当k=8时，其和为36+

38-3

2

=3315＞2008．（13分）
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
故当m=7+（1+3+3²+…3⁵）+296=667时，S_m=2008．（16分）

点评：本题考查的知识点是程序框图，等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列求和，是数列问题比较综合的考查，难度比较大，其中根据已知中的程序框图，分析出数列{a_n}，{b_n}各项之间的关系，进而求出{a_n}，{b_n}的通项公式，是解答本题的关键．