Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（-2，0），且长轴长与短轴长的比是2∶。
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：设椭圆C的方程为（a>b>0）
由题意，得
解得a²=16，b²=12
所以椭圆C的方程为。
（2）设P（x，y）为椭圆上的动点，
由于椭圆方程为，故-4≤x≤4
因为=（x-m，y），
所以||²=（x-m）²+y²=（x-m）²+12·（1-）=x²-2mx+m²+12=（x-4m）²+12-3m²
因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，
即当x=4时，||²取得最小值
而x∈[-4，4]，
故有4m≥4，解得m≥1
又点M在椭圆的长轴上，所以-4≤m≤4
故实数m的取值范围是[1，4]。