Question

（09年宜昌一中10月月考文）（12分）

已知直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的侧棱长与底面三角形的各边长都等于a，点D为BC的中点．求证：

（1）平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁；

（2）A₁B∥平面AC₁D．

（3）求二面角C₁－DA－C.

Answer 1

解析：证明：（1）在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，侧棱BB₁⊥平面ABC．

又BB₁平面BCC₁B₁，∴侧面BCC₁B₁⊥平面ABC．

在正三角形ABC中，D为BC的中点，∴AD⊥BC．

由面面垂直的性质定理，得AD⊥平面BCC₁B₁．

又AD平面AC₁D，

∴平面AC₁D⊥平面BCC₁B₁．

   （2）连A₁C交AC₁于点O，四边形ACC₁A₁是平行四边形，

O是A₁C的中点．又D是BC的中点，连OD，由三角形

中位线定理，得A₁B₁∥OD．

∵OD平面AC₁D，A₁B平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．

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